シュレーディンガー方程式を理解する 03 - （復習）固有値問題

「固有値問題」が「行列」に関連しているコトは思い出した。

固有値問題（wp）で「復習」する。*1
ちなみに、英語では「Eigenvalue problem」である。

そうそう、
$A \vec{x} = \lambda \vec{x}$
の形（ $\lambda$ はスカラー）。

これに相応するように、量子力学でも
$H \mathbf{x} = \epsilon \mathbf{x}$
の形で固有値問題（すなわち「シュレーディンガー方程式」！）が考えられるというわけだ。
このとき、 $H$ は「ハミルトニアン」で、固有ベクトル $\mathbf{x}$ が「波動関数」に相当し、固有値 $\epsilon$ が「エネルギー準位」となるらしい。「エネルギー固有値が求まった場合、波動関数はエネルギー固有状態になっているという。」とあるが、まだいまいちよくわからない。

復習の域を既に越えているが、

「ハミルトニアンのかわりに任意の物理量の演算子を作用させてよく、もし固有値が得られたならば、それがこの状態での物理量の値となる」コトや、
「実際の多電子系などの数値計算においてはエルミート演算子を有限サイズのエルミート行列で近似することになる」コトも

明確に理解したいと思った。

「行列」の方の「固有値問題」と並べて「シュレーディンガー方程式」を見ることで、「思考の枠組み」が見えてきて「志向性」が明らかになってきた。どういうコトかというと、「行列」の方では、まず行列 $A$ が与えられていて、固有値 $\lambda$ と固有ベクトル $\vec{x}$ を求めようとしたわけだけども、「シュレーディンガー方程式」では、「ハミルトニアン」 $H$ を与えて、次に「エネルギー準位」 $\epsilon$ と「波動関数」 $\mathbf{x}$ を求めようとするというコトである！

このような「学習」における「突然の洞察」は、表面上非常に簡単なコトに見えるが、非常に大きなステップである場合が多い。

実際、あの水素原子におけるシュレーディンガー方程式の解の「さっぱり分けのわからなかった」数式の羅列が、今はある「秩序」を通してみるコトができるのである！

*1:これからは、Wikipediaをwpと略記しようと思う。「最近言及したキーワード」に現れてもあまり面白くないキーワードだからである。